Zadania przygotowawcze do

II  Konkursu Matematycznego

dla klas drugich

V LO im ks. Piotra Ściegiennego

 

 

Zad1 Rozwiąż  równanie:   

 

Zad2  Dla jakich wartości  parametru mÎR nierówność   m|x+1|+m2 - m- 2<0 jest spełniona  przez każdą liczbę  rzeczywistą  x?

 

Zad3  Naszkicuj wykresy funkcji określonych  wzorami:  f(x) = 2|x| -2,  g(x)= |2-2x| i rozwiąż  nierówność  g(x) Łf(x)

 

Zad4 Dla jakich wartości m  okręgi  (x-3)2 + (y-4)2=9   i x 2+ y2 -2mx -8y+12+m2 = 0 są  wewnętrznie styczne.

Zad5  Prosta o równaniu x=1 jest osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej  f(x)=ax2+bx -.

Punkt A=(5,3) należy do wykresu tej funkcji.  Wyznacz współczynniki a, b. Dla jakiej wartości m  równanie |f(x)|=m  ma trzy rozwiązania.

 

Zad6 Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n>2 spełnione są nierówności:

Zad7  Pierwiastkami   równania 24x3-14x2-x+1=0 są liczby a, b, c. Ile jest równa  liczba

(a+1)(b+1)(c+1).

 

Zad8 Okrągły stół o średnicy  2m przykryty został kwadratowym  obrusem   o długości boku 2,5m. Środek blatu stołu  pokrywa się ze środkiem obrusa. Jaka  jest różnica pomiędzy odległościami  od podłogi  najniżej  i najwyżej  położonego punktu brzegu  obrusa.

 

Zad8  Punkt P leży  wewnątrz  kwadratu  ABCD. Odległości  tego punktu od wierzchołków  A, B, C  wynoszą  odpowiednio 2, 7, i 9. Ile wynosi odległość  punktu P  od wierzchołka D?

 

Zad10  Mietek oszczędza, aby  kupić komputer, który kosztuje  5400 zł. Zapytany, ile  już zgromadził pieniędzy odpowiedział: "Nawet  gdybym  miał o jedną  piątą więcej  niż mam,  brakowałoby  mi jeszcze o jedną  czwartą  mniej  niż w rzeczywistości brakuje". Ile pieniędzy  miał Mietek..

 

Zad11 Oblicz sumę:

 

 Zad12 W pokoju znajdowała się  pewna liczba osób. Ich średni wiek równy był liczbie osób znajdujących się w pokoju. Gdy do pokoju wszedł 29 letni człowiek, okazało się, że nadal średni wiek był równy liczbie osób w pokoju?

 

Zad13 Która jest godzina, zapytał ktoś Pitagorasa. "Pozostało  jeszcze 2/3 tego  dnia, co już upłynęło"  odpowiedział filozof.  Która  była  godzina?

 

Zad14  Czy sześcian  połowy  3-krotności  liczby  jest równy 3- krotności połowy sześcianu tej liczby?

 

Zad15 Liczba  dodatnia t, która spełnia warunek  t2 = t + 1  nazywa się " złotą liczbą". Ile równa się t5?

 

 Zad16 Na danym odcinku o długości a oraz na jego połowach jako na średnicach  zakreślono trzy okręgi. Wyznacz promień okręgu stycznego do tych okręgów.

 

Zad17 W trapezie równoramiennym dany jest kąt ostry a i ramię b. Środek okręgu opisanego na tym trapezie należy do podstawy trapezu. Oblicz pole tego trapezu.

 

Zad18 Dla jakich wartości parametru m iloczyn liczb x i y spełniających układ    przyjmuje wartość najmniejszą?

Zad19Rozwiąż nierówność  .

Zad20 Podaj na płaszczyźnie współrzędnych ilustrację  zbioru AÇB,  jeśli

A=

B=

 

Zad21 Liczba  m jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych. Wykazać, że liczba 2m (13m)  też ma tę własność.

 

Zad23 Pewien wielomian daje przy dzieleniu przez x-1 resztę 2,  natomiast przy dzieleniu przez  x-2 resztę 3. Znajdź  resztę  z dzielenia tego wielomianu przez (x-1)(x-2).

 

Zad24 W trójkąt  równoboczny o boku długości a wpisano trzy okręgi styczne do siebie przy czym każdy z nich jest  styczny do dwóch boków trójkąta. Okręgi te  mają promienie tej samej  długości. Oblicz długość promienia  tych okręgów.

 

Zad25 Pewien człowiek ma w szufladzie 29 skarpetek:9 niebieskich, 8 zielonych i 12 czarnych. Wskutek  awarii bezpieczników gaśnie światło. Ile skarpetek  będzie  musiał  wyjąć, żeby na pewno mieć  po jednej parze każdego koloru?

 

Zad26Dwóch zawodników  ściga się na dystansie100m. Wygrywa A, z przewagą  10m. Aby wyrównać  szanse w następnym wyścigu A staje 10 metrów przed linią startu, tym samym dając B 10metrów  forów. Odbywa się drugi  wyścig w którym obaj biegną z  dokładnie taką  samą prędkością  jak poprzednio.  Kto wygra?

 

Zad27 Pewien człowiek ma  zazwyczaj pokonać wybraną trasę biegiem, w tempie 6 mil na godzinę, a następnie  maszerować w tempie 4 mile na godzinę. Jaka  jest przeciętna prędkość na tej trasie?

 

Zad28 Czy w  garnek o średnicy  24 cm zmieszczą się 4 słoiki o średnicy 10cm. Odpowiedź uzasadnij.

 

Zad29 W okrąg o promieniu 7,5 cm  wpisano  trójkąt  podobny do  trójkąta  o bokach  długości 3cm, 4cm,  5cm.  Jaki jest obwód  wpisanego  trójkąta?

 

Zad30  Rozwiąż  algebraicznie i graficznie  układ  równań .

 

Zad31 W rombie ABCD  punkty  M i N są środkami  boków  AB i CD. Wykaż,  że odcinki  DM i BN dzielą  przekątną  AC trzy równe  części.

 

Zad 32 Dla  jakich wartości parametru  kÎR  liczba 2 znajduje się  między  pierwiastkami  równania   x2 + 4x +k = 0.

 

 

 

Uwaga: Zadania zostały zaczerpnięte z różnych konkursów matematycznych oraz dostępnej literatury matematycznej